Né à Strasbourg, élève de Philippe Muller au Conservatoire de Paris, il étudie avec János Starker aux États-Unis et bénéficie également des conseils de Paul Tortelier. Il a remporté le Concours International Bach de Leipzig, le Concours International de Douai, le Concours de Musique de Chambre de Florence et le Concours Parisot-Starker (Brésil).
Remarqué dès 1989 par Yehudi Menuhin, il fait ses débuts à ses côtés à Moscou puis à Paris, dans un concert filmé par Bruno Monsaingeon. Depuis, il a été invité par Mstislav Rostropovitch au festival d'Evian et il s'est produit dans les grands festivals français et européens (festivals de Radio-France et de Montpellier, de Strasbourg, de Besançon, de La Roque d'Anthéron, de Stuttgart, le MIDEM, les festivals de musique de chambre de Kuhmo, Korsholm ou Prades) ainsi qu'à Londres (Wigmore Hall), Berlin (Schauspielhaus), Paris (Salle Pleyel, Théâtre de la Ville, Théâtre des Champs-Elysées, Théâtre du Châtelet, Théâtre des Bouffes du Nord, Auditoriums du Musée d'Orsay et du Louvre), Dublin, Prague, Moscou (Grande salle du Conservatoire Tchaïkovski) ou Saint-Pétersbourg.
Il joue en soliste sous la direction d'Emmanuel Krivine, Theodor Guschlbauer, John Nelson, Raymond Leppard, Erich Bergel… En musique de chambre il est le partenaire de Maria-Joao Pires, Michel Dalberto, Nicholas Angelich, Augustin Dumay, Victoria Mullova, Renaud Capuçon, Laurent Korcia, János Starker, Michel Portal, Paul Meyer, Emmanuel Pahud ou le Quatuor Prazak. Entre 1995 et 2000, il fait partie du Quatuor Ysaÿe.
Il a enregistré des œuvres de Beethoven, Debussy, Fauré, Grieg et Strauss, pour les labels Auvidis, Decca, Harmonia Mundi et K617. Sa nouvelle collaboration avec Æon a donné deux disques en un an : une intégrale des Suites de Bach et Russian Sonatas, enregistré en compagnie de Peter Laul, autre Lauréat Juventus.
Très attaché à la musique d'aujourd'hui, Marc Coppey crée des œuvres de Krawczyk, Lenot, Monnet, Reverdy et Tanguy (1er Concerto pour violoncelle)... La critique voit en lui un héritier de Fournier, Starker ou Tortelier et relève l'originalité, mais aussi la subtilité et le raffinement de son jeu, la richesse, la chaleur, ainsi que la pureté de sa sonorité. Il vient d’être nommé professeur au CNSM de Paris.
Il joue un violoncelle de Matteo Goffriller de 1711.